Семинар «Коллективная динамика стохастических нейронов: предсказание аномально высокой активности», 17.05.2018

В современной нейрофизиологии уже давно применяют математические модели для моделирования нейронов. Обычно они имеют вид системы нелинейных ОДУ. Недавно получили распространении модели нейронов, реализованные как точечные процессы (нелинейные процессы Хокса, nonlinear Hawkes processes, point process generalized linear models). По сути, это динамическая версия процесса Пуассона, где стохастическая интенсивность в данный момент времени у конкретной реализации зависит от предыдущих событий этой реализации. Изначально такие процессы были введены для анализа данных, связанных с землетрясениями, а потом их стали использовать более широко — в т.ч. в финансовой математике и в машинном обучении.

В нейрофизиологии в отличие от ОДУ моделей, обычно моделирующих мембранные потенциалы нейронов, процессы Хокса чаще используют для моделирования лишь потенциалов действия (то есть модель на выходе сообщает лишь, генерирует ли данный нейрон потенциал действия в данный интервал времени). Процессы Хокса более сложные, чем ОДУ, как математический объект, но их оказывается проще сравнивать с реальными данными.

Оказывается, однако, что даже после оптимизации коэффициентов под реальные данные, полученные процессы могут вести себя странно, в частности, генерировать слишком большую активность (фактически, это аналог ухода решения на бесконечность у ОДУ). Это делает модели неприменимыми для теории и ограничивает применение в практических задачах. Поэтому, важно научиться понимать, что именно в модели отвечает за генерацию этой слишком большой активности. Иными словами, смотря на уравнения (коэффициенты) нужно предсказать некоторые грубые особенности динамики.

Первый шаг в этом направлении это пытаться предсказать среднее процесса в стационарном состоянии. Работы на эту тему стали появляться лишь очень недавно и многие ситуации ещё недостаточно изучены. Для предсказания средних стохастических процессов в теоретической физике было разработали несколько методов и я расскажу про достоинства и недостатки некоторых из них в применении к процессам Хокса для одиночных нейронов и их популяций, а также продемонстрирую результаты численных экспериментов.

Один метод предлагает рассматривать процесс так же, как сложную диффузию (обычное стохастическое дифф. уравнение с винеровским шумом) и использовать методы теории поля для аппроксимации. Здесь я покажу, что помогает получить использование теории среднего поля и однопетлевого приближения. Другой подход аппроксимирует процесс, как процесс восстановления (quasi-renewal approximation). Оба способа связаны с построением отображения «усреднённой» динамики, которое можно исследовать, как дискретную динамическую систему, которая, может иметь иметь несколько устойчивых неподвижных точек, нетривиальным образом связанных с полной динамикой.

Контакты

Телефоны: +7 (812) 290-96-42
+7 (812) 290-96-45

Адрес: г. Санкт- Петербург, ул. Политехническая, 29АФ

compbio@sbpstu.ru

Остались вопросы?

Либо напишите нам compbio@sbpstu.ru